\chapter{刚体的转动 Rotation of Rigid Body}
\section{刚体的定轴转动 Rotation of Rigid Body about Fixed Axis}
\subsection{定轴转动刚体动能 Kinetic Energy of Rigid Body in Fixed-Axis Rotation}
刚体中第 i 个质点的动能

\begin{align}
	E_{ki}&=\frac{1}{2}\Delta m_iv_i^2
\end{align}

刚体转动动能

\begin{align}
	E_k&=\sum E_{ki}=\sum (\frac{1}{2}\Delta m_iv_i^2)=\sum (\frac{1}{2}\Delta m_ir_i^2\omega^2)= \frac{1}{2}\sum(\Delta m_ir_i^2)\omega^2\\
	E_k&=\frac{1}{2}J\omega^2\\
	J&=\sum(\Delta m_ir_i^2)
\end{align}
\subsection{力矩的功 Work Done by Torque}
元功

\begin{align}
	dA&=\vec{F}\cdot d\vec{r}=Fcos\Phi|d\vec{r}|=F_\tau|d\vec{r}|=F_\tau rd\theta=M\d\theta
\end{align}

刚体从角坐标$\theta_1$转到$\theta_2$，力矩所做功

\begin{align}
	A&=\int_{\theta_1}^{\theta_2}M\d\theta
\end{align}

外力矩的代数和

\begin{align}
	M&=\sum_{i=1}^n M_i
\end{align}

外力矩M1、M2……、Mn所做元功之和

\begin{align}
	dA&=\sum_{i=1}^ndA_i=\sum_{i=1}^n(M_id\theta)=\sum_{i=1}^n(M_i)d\theta=Md\theta
\end{align}
\subsection{定轴转动动能定理 Theorem of Kinetic Energy for Fixed-Axis Rotation}
\begin{align}
	dA&=Md\theta\\
	M&=J\frac{d\omega}{dt}\\
	dA&=(J\frac{d\omega}{dt})d\theta=J\omega d\omega\\
	dA&=d\left(\frac{1}{2}J\omega^2\right)
\end{align}

刚体从角坐标$\theta_1$转到$\theta_2$，角速度从$\omega_1$到$\omega_2$

\begin{align}
	A&=\int_{\theta_1}^{\theta_2}dA=\int_{\theta_1}^{\theta_2}d\left(\frac{1}{2}J\omega^2\right)\\
	A&=\frac{1}{2}J\omega_2^2-\frac{1}{2}J\omega_1^2
\end{align}

外力作功等于定轴转动刚体的动能增量。
\subsection{推论}
质点系动能变化取决于所有外力做功及内力做功；刚体的内力作功之和为零；刚体动能的增量，等于外力的功。
\section{转动惯量 Moment of Inertia}
转动惯量(Moment of Inertia)，是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。SI 单位为$kg\cdot m^2$。又称质量惯性矩，简称惯矩。
\subsection{定义}
\begin{align}
	J&=\sum(\Delta m_ir_i^2)
\end{align}
\subsection{平行轴定理 Parallel Axis Theorem}
设刚体质量为  ，绕通过质心转轴的转动惯量为 Jc，将此轴朝任何方向平行移动一个距离 d，则绕新轴的转动惯量J为：

\begin{align}
	J&=J_c+md^2
\end{align}

根据此定理，在一组平行的转轴对应的转动惯量中，过质心的轴对应的转动惯量最小。因此，过质心的轴对应的角速度最大，即，过质心的轴转动能量最高。根据能量守恒，由于转轴过质心时，转动动能最大，因此质心平动动能最小，此时，质心将缺少初速度，而向质心的旋转中心坠落，或者，它本身就是坠落的中心，也就是白矮星或黑洞的中心。
\subsection{垂直轴定理 Perpendicular Axis Theorem}
一个平面刚体薄板对于垂直它的平面的轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。

\begin{align}
	J_z&=J_x+J_y
\end{align}

式中Jx,Jy,Jz分别代表刚体对x,y,z三轴的转动惯量。

对于非平面薄板状的刚体,亦有如下垂直轴定理成立：

\begin{align}
	J_x+J_y+J_z&=2\int\int\int_V r^2dm
\end{align}

利用垂直轴定理可对一些刚体对一特定轴的转动惯量进行较简便的计算.
刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径k，其公式为$J=Mk^2$，式中M为刚体质量；J为转动惯量。
\subsection{伸展定则 Stretch Rule}
除以上两定理外，常用的还有伸展定则。伸展定则阐明，如果将一个物体的任何一点，平行地沿着一支直轴作任意大小的位移，则此物体对此轴的转动惯量不变。 我们可以想像，将一个物体，平行于直轴地，往两端拉开。在物体伸展的同时，保持物体任何一点离直轴的垂直距离不变，则伸展定则阐明此物体对此轴的转动惯量不变。伸展定则通过转动惯量的定义式就可以简单得到。
